【研究意义】农业健康发展是我国“十三五”规划的明确要求。Logistic模型方程的产生之初是用于描述人口及动植物、微生物种群的数量增长。经近两百年的发展，现被用于经济增长、农业发展、生态系统评估等多个方面。该曲线形如“S”型，能基于统计观测数据预估研究对象在未来的数量变化趋势及环境最大容纳量（K值）。基于该模型分析的农业水土资源等指标变化，可为当地农业水资源部门、土地管理部门提供水土资源利用的参考信息，以促进粮食安全生产。【前人研究进展】在农业生态系统中，产生“S”型的限制因子有多种［1］，如管理水平、水土资源等［2］。在曲线的农业利用方面，乔瑞波等［3］基于Logistic模型评估浙江省耕种面积的极值变化；陈淇等［4］利用Logistic模型测算农业土地面积流转；徐建英等［5］利用Logistic模型分析卧龙地区土地资源的流转；吕德东等［6］利用Logistic模型分析农作物大豆中豆荚结构与食心虫之间的抗性关系；Shabani等［7］利用双Logistic模型估算在水胁迫条件下，模拟农作物冬油菜生长与干物质的变化量；陈其清等［8］利用Logistic方程计算农业经济变化。水稻是我国重要的粮食作物之一，从东北到海南均有分布。近年来，市场对东北大米偏好增加，加速了东北水稻的扩大种植［9］，导致近20年种植面积翻两番［10］，并且总产量持续增长。黑龙江省较辽宁省和吉林省增长更为突出。水稻对农业水土资源的需求导致黑龙江农业生态系统不断调整种植结构、部分地市将旱地变成水浇地，出现“旱改水”［11］的现象。Liu等［2］利用数学模型评价了黑龙江三江平原地区水土资源恢复力。
【本研究切入点】利用Logistic模型（数学模型）和RMSE模型（检验模型）的统计方法，结合黑龙江农业生态系统近20年水土资源利用的相关指标。深入研究黑龙江省水土资源的利用情况和变化过程。【拟解决的关键问题】在当前农业科技管理水平下，分析粮食产量、种植面积、农业水资源供应等指标的趋势变化，并拟合、计算、评估出单产、总产、种植面积等指标极值与时间的相关关系［12］，验证Logistic模型可应用于农业生态系统中大尺度、多指标的变化，同时探究国家农业政策、农业管理信息、农业科技水平和气候条件等内外限制因子对农业生态系统的影响。
1 研究区域概况
1.1 粮食作物种植概况
黑龙江境内有松嫩平原、三江平原等平原地区，盛产大豆、玉米、水稻等粮食作物。该地区年降雨量为400～650 mm，年均温为-5～5℃，初霜冻一般出现在9月份，终霜冻一般在4月底至5月初，全年平均积温的波动范围为1 800～2 800℃（在≥10℃的条件下）［13］。由于农作物对温度和水资源需求，水稻种植区域多集中在该省东南部［14］。1985—2016年《国家统计年鉴》数据表明，1985年水稻种植总面积约占全国的5%，2015年占10%。2016年水稻种植总面积约为3.20×106 hm2，约占全国水稻种植总面积（3.02×107 hm2）的10.6%；玉米种植总面积为（5.22×106 hm2），约占全国玉米总种植面积（3.68×107 hm2）的14.2%；大豆种植总面积为3.05×106 hm2，约占全国大豆种植总面积（9.70×106 hm2）的31.4%［14］。2017年，黑龙江省粮食总产量在全国省份排名第一，其中水稻种植总面积同比增幅最大。
1.2 农业水资源使用概况
农业供水来源包括地表水和地下水。降雨影响该地区的地表水和地下水安全。王振芬等［15］研究表明，1961—2011年黑龙江降雨量出现逐渐减少的趋势。由于该地区耗水作物种植面积扩大，农业水资源的供应量在近20年连年攀升，但地表水的供应量未出现明显增加，导致了地下水的加速开采，以弥补农业对水资源的需求。截至2014年，地下水的供应量约为2004年的1.5倍。据预测，该地区农业“旱改水”的持续增加将加快水资源消耗，在未来甚至会出现水资源匮乏、极端干旱等现象［16］。
2 材料与方法
2.1 数据来源
农业生态系统中作物产量、面积等数据来源于1995—2017年《黑龙江省统计年鉴》和《国家统计年鉴2017》。农业用水数据来源于1995—2017年《黑龙江统计年鉴》和2005—2017年《黑龙江水利年鉴》。
2.2 研究方法
Logistic模型可将研究对象的变化范围分成开始期、加速期、转折期、减速期和饱和期5个时期。本研究中，开始期研究对象数量发展较缓慢，不断适应外界条件的变化；加速期是基于开始期发生数量上的急剧增加，增长率逐渐达到最大；转折期是介于加速期和减速期之间的分界点；减速期是研究对象增加量逐渐减小的时期；而在饱和期则研究对象数量趋于稳定，出现最大环境容纳量（K值），发展达到最大限度［17］。Logistic模型的具体表达式为：式中，N表示在生态系统中研究对象的数量大小；K值表示环境容纳量极大值；t表示时间；r为不同Logistic曲线下的常数，能够影响“S”型曲线坡度。
3 结果与分析
3.1 土地资源利用变化分析
3.1.1 水稻和粮食作物种植面积的变化 从图1A可见，水稻种植总面积（Rice total Plating Area，RPA）的增长期大约开始于2002年。2002—2015年出现明显的加速期、转折期和减速期。水稻种植面积在2015年开始出现拐点，极值在2020年出现，大小约为4.05×106 hm2。对比水稻种植面积变化，从图1B可知，粮食作物种植总面积（Crop total Planting Area，CPA）增长趋势与水稻的增长趋势相近，增长期也开始于2002年，但减速期拐点在2014年产生，而饱和期在2016年出现，产生极值的大小约为1.43×107 hm2。可见，粮食作物的种植总面积K值出现的年份稍早于水稻种植总面积出现的年份。
图1 1996—2016年黑龙江省水稻（A）及粮食作物（B）种植总面积变化
Fig. 1 Changes in RPA（A） and CPA（B） in Heilongjiang Province from 1996 to 2016
3.1.2 水稻和粮食作物单产的变化 单产是农田系统管理水平、物候条件、土壤肥力的综合体现。由图2可知，加速期开始于2008年，减速期止于2014年，粮食作物单产（Crops Per unit Yield，CPY）的极值约为5 275 kg/hm2。由图3可知，水稻单产（Rice Per Unit Yield，RPY）在1980年以前就进入加速期，进入饱和期年份约为2016年，预期得到水稻单产极值为7 030 kg/hm2。对比粮食作物单产的变化，水稻单产的增长时间长，增长期持续时间长，最终进入稳定期的年份滞后，“S”型曲线的坡度比作物单产的坡度小。
图2 1996—2016年黑龙江省粮食作物单产变化
Fig. 2 Changes in CPY in Heilongjiang Province from 1996 to 2016
图3 1980—2016年黑龙江省水稻单产变化
Fig. 3 Changes in RPY in Heilongjiang Province from 1980 to 2016
图4 1996—2016年黑龙江粮食作物总产量（A）与2004—2016年农业总供水量（B）变化
Fig. 4 Changes in CTY（A） in Heilongjiang Province from 1996 to 2016 and ATW（B） from 2004 to 2016
3.2 农业水资源利用和粮食总产量变化结果
从图4A可以看出，粮食作物总产量（Crop Total Yield，CTY）的变化趋势与图1A相同，在2004年开始进入加速期，在2014年进入拐点，达到稳定期。此外，粮食作物总产量极值在2020年产生，约为6.39×107 t。从图4B可知，水资源供水极值与水稻的变化趋势基本一致。供水极值在2016年左右产生，约为3.16×108 m3。2016年农业水资源总供给量（Agricultural Total Water supply，ATW）已进入曲线的饱和期，表明黑龙江省农业供水水平已达上限。
3.3 水土资源指标模型验证及相关分析
为进一步验证Logistic模型的可靠性，通过国家和黑龙江省长期统计结果与模型模拟数据的比较分析，计算Logistic模型在黑龙江农业生态系统水土资源和部分农业指标模拟的符合度。同时采用相对均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE） 模型检验方法评估Logistic模拟值与统计值的符合度， 其中R2为拟合优度（决定系数），n为统计数量，r为Pearson相关系数。当 RMSE 值小于10%时，模拟值与统计值一致性非常好；当 RMSE值在 10%～20%之间时，表明二者一致性较好；当 RMSE 值在 20%～30% 时，二者一致性一般；而当 RMSE 值大于 30%时，表明二者存在较大偏差，一致性较差［18］。
不同类别的Logistic模型模拟检验结果如表1 所示。由表1可知，Logistic模型模拟的6种类别的统计值与模拟值间相关性极好。6种类别的RMSE 值均小于 10%，说明二者间存在非常好的一致性。6种类别的拟合优度分别为0.97、0.98、0.91、0.92、0.97和0.89，都达到了0.01水平下的极显著相关关系。总体而言，Logistic模型的模拟效果较好，利用该模型模拟黑龙江省水土资源和部分农业指标的变化趋势是可行的。
表1 不同类别模型与统计检验结果
Table1 Different categories and statistical test results
水稻种植总面积Rice total planting area（RPA） 21 0.97 0.98 0.6粮食作物种植总面积Crop total planting area（CPA） 21 0.98 0.99 2.6粮食作物单产Crop per unit yield（CPY） 21 0.91 0.95 3.9水稻单产Rice per unit yield（RPY） 21 0.92 0.96 3.4粮食作物总产量Crop total yield（CTY） 21 0.97 0.98 4.6农业总供水量Agricutural total water supply（ATW） 13 0.89 0.93 5.1
3.4 不同积温带地市土地资源利用变化分析
黑龙江农业信息网公布信息表明，黑龙江地区有多种积温带分布。其中，第一、第二积温带在西南和东南均有分布，第三、第四积温带在黑龙江省中间分布，第五、第六积温带大体位于西北方，部分位于东北方。温度差异决定了积温带的分布不同，也决定了种植作物分布差异。该地区水稻、玉米的生长积温均值约为2 500℃，大豆、小麦的生长积温均值约为1 500℃。根据《黑龙江统计年鉴2000—2017》的数据和不同积温带分布，可得典型积温带不同地市的土地利用数值与Logistic模型之间的关系。从表2可见，六地市中不同类型（面积和单产）指标大体符合Logistic模型。其中，种植面积的拟合优度明显高于产量的，且前者模拟值和统计值二者间具有较强的相关性。而粮食作物单产、水稻单产的拟合优度范围跨度较大，存在部分指标的拟合优度偏低，如伊春粮食作物单产。均方根误差RMSE也反映出不同积温带地市的统计值与Logistic模型之间的差值，也是重要的参考指标。从R2和r、RMSE等3种统计指标分析可得，种植面积变化的拟合程度高于单产、总产的变化。伊春的水稻单产和大兴安岭的粮食单产变化不遵循Logistic变化。
表2 典型积温地市带不同类别模型与统计检验结果
Table2 Different categories and statistical test results of typical Accumulated Temperature Zones（ATZ）
注：“-”表示无统计值，“*”表示偏离区间的异常值。
Notes: “-” represents no statistical value and “*” represents abnormal values deviated from the intervals.
地市City 位置与积温带Location and ATZ 类别Categories n R2 r RMSE（%）水稻种植总面积（RPA） 14 0.82 0.91 1.3粮食作物种植总面积（CPA） 11 0.91 0.96 3.3水稻单产（RPY） 14 0.60 0.77 8.0粮食作物单产（CPY） 11 0.74 0.86 6.6佳木斯Jiamusi大庆Daqing第一积温带First ATZ≥2700℃水稻种植总面积（RPA） 14 0.96 0.98 0.9粮食作物种植总面积（CPA） 11 0.98 0.99 4.4水稻单产（RPY） 14 0.63 0.79 6.0粮食作物单产（CPY） 11 0.74 0.86 5.6伊春Yichun水稻种植总面积（RPA） 14 0.97 0.99 6.8粮食作物种植总面积（CPA） 11 0.64 0.80 4.5水稻单产（RPY） 14 0.75 0.87 3.2粮食作物单产（CPY） 11 0.91 0.96 5.5绥化Suihua第二积温带Second ATZ 2500～2700℃第三积温带Third ATZ 2300～2500℃水稻种植总面积（RPA） 14 0.77 0.88 11.7粮食作物种总植面积（CPA） 11 0.95 0.97 3.4水稻单产（RPY） 14 0.77 0.88 6.9粮食作物单产（CPY） 11 0.78 0.89 6.6大兴安岭Greater Khingan Range水稻种植总面积（RPA） 14 0.97 0.99 1.6粮食作物种植总面积（CPA） 11 0.95 0.97 3.1水稻单产（RPY） 14 * * *粮食作物单产（CPY） 11 0.28 0.56 6.9黑河Heihe第四积温带Fourth ATZ 2300～2500℃第五积温带Fifth ATZ 2300～2500℃水稻种植总面积（RPA） - - - -粮食作物种植总面积（CPA） 11 0.91 0.96 4.6水稻单产（RPY） - - - -粮食作物单产（CPY） 11 * * *第六积温带Sixth ATZ≤1900℃
4 讨论
4.1 水土资源利用与产生“S”型变化的主要原因
粮食全要素生产率和技术效率［19］影响农业的发展，是农业生产水平的反映。粮食单产、总产的提高和种植面积的优化也是衡量生产效率和技术的重要参考指标。
黑龙江农业水土资源产生的“S”型变化与该地区农业发展的限制因子有关。国家政策（经济政策、水资源政策等）、农业科技水平（机械化、基因工程育种等）和农业管理（施肥管理、灌溉等）是形成该曲线变化的主要限制因子。以水稻为例，国家从2004年恢复对黑龙江地区的最优保底政策，并同时实行“一免两补”，有效刺激水稻种植总面积的增长，该现象的出现与图1A中的变化趋势保持一致。此外，气候变暖、抗冻品种（如富士光和龙稻5号等稻米）的培育和农业灾害防治水平的提高也有利于水稻单产和总产的持续增加。从水稻单产变化的时间分析可知，水稻单产增长始于20世纪80年代，近40年稳步提高，这种变化趋势与农业技术发展、变革的时间基本一致。另外，水稻种植面积的极值，既受外部因子的影响，也受地形、温度、水资源供应等内部限制因子的制约，Logistic模型中K值的出现是该农业生态系统发展的必然结果。
对农业水资源利用分析可知，水稻是对水资源需求最高的粮食作物。水稻种植面积影响农业水资源总量的供给变化，水稻种植总面积的“S”型变化也决定了水资源供应的“S”型变化。若未来水资源灌溉技术出现革新，那么农业水资源供应量将在现有的“S”型变化曲线的基础上发生明显下降。而其变化依然是形成一个新的“S”型的递减规律，最终产生新的K值。
黑龙江近20年主要粮食作物的单产，为水稻＞玉米＞小麦＞大豆。当前粮食作物单产的“S”型变化是基于当前粮食作物的种植比例下统计学指标均值的体现，是降雨、温度和土壤质地等内部因子和外部国家政策、管理水平和农业科技水平等因子综合作用的结果。当未来国家政策、农业科技水平和农业管理中有任何一个限制因子在当前基础上发生变化，农业生态系统的“S”型曲线将在现有基础上发生变化，进入下一个Logistic周期。
4.2 Logistic模型与RMSE的不确定性
Logistic方程是基于现有数据而产生的经验模型。对于预测农业生态系统指标变化，其前提条件是，该农业生态系统中农业管理、农业科技水平、气候条件等不会发生明显变化，即依据当前气候和农业管理、资源水平而产生的预测极值。不确定性主要来源于：（1）统计学误差，即已获得统计学数据存在人为统计偏差及系统误差；（2）未来的农业生态系统科技管理水平提高和气候变化等限制因子改变。均方根误差RMSE常用于衡量统计值与模拟值之间的误差大小，通常与R2 等指标同时出现。在研究典型积温带中，佳木斯的作物种植面积出现RMSE值小、而R2也偏小的情况。这可能与统计值数量以及模型的时间尺度有关。因此，衡量模型的拟合优劣，需要评估多种指标，否则也会出现类似于RMSE失真的可能性。
4.3 未来气候变化的水土资源利用与K值的关系
据IPCC第五次研究报告表明，到2100年，地球平均温度将比当前提高约0.3～4.8℃［20］，但东北地区降雨量在未来无明显变化。根据Thomthwait方程［21］，当温度升高，蒸腾作用加剧，作物生长周期的需水量也随之加剧。在现有灌溉水量条件下，水稻、大豆等耗水量偏大的粮食作物产量发生水胁迫［22］，在未来产值可能低于预期K值。若保证粮食产量不变，则种植面积K值会相应减小。而市场对东北水稻的需求、国家政策对大豆总产的需求都将增大作物种植面积的K值。若未来气候变化条件不明显，农业生态系统的最大值也依然会受到突发因素（土壤质地、洪涝、部分干旱［12］等）的干扰，其真实产量N将围绕Logistic模型K值上下波动［17］。
4.4 Logistic模型周期与K值的关系
Logistic模型K值的产生是生态系统限定因子，包含国家政策、农业科技水平和农业管理等综合作用的结果。当农业系统中限定因子发生改变，K值也将相应地发生变化。化肥、水利设施、农业管理和种植品种均为该农业生态系统外部的限制因子，而土壤质地、气候、积温带等则属于该系统内部的限制因子。因此，当某种限制因子不再制约农业的发展时，农业生态系统各变量将拟合一个新的Logistic方程，并以当前时期为开始期，进入下一个“S”型变化周期，依据外部变化可增可减，从而产生新的K值。
4.5 黑龙江农业系统水土资源的潜在风险
根据Logistic方程分析，水稻种植面积极值的产生时间晚于农业水资源用量极值的产生时间，因此，该系统可能面临水资源亏损的风险。在未来气候变化条件下，温度升高和降雨的减少也会带来水资源亏损的风险。另外，长时间的“旱改水”导致旱地土壤细菌、真菌和放线菌比值与总量的变化，将影响土壤的特性。国家化肥零增长［23］政策一方面有助于降低化土壤性质变化的风险，但另一方面也给维持粮食高产量带来了巨大的挑战。
5 结论
（1）本研究采用 RMSE模型检验的方法，对统计值与Logistic模拟值之间进行了拟合相关性分析，从模型的模拟值与统计值间的 RMSE 值可知，Logistic模型可以较好地模拟黑龙江水土资源的动态变化。
（2）根据模型评估分析表明，黑龙江农业生态系统农业水资源供应量在2016年产生极值，约为3.16×108 m3。粮食作物种植总面积在2016年达到极值，约为1.43×107 hm2。同时，在2020年，水稻种植面积极值约为4.05×106 hm2，水稻单产极值约为7 030 kg/hm2。此外，粮食作物总产极值为6.39×107 t，潜在增量约为1.14×107 t。未来还可从优化管理、提高水资源利用率、增加土壤肥力、基因工程培育高产作物等方面来提高黑龙江农业生态系统总生产力。
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